[알고리즘/이론][정수론] 유클리드 호제법

두 양의 정수 a, b에 대해서 a를 b로 나눈 나머지로 다시 b를 나누는 과정을 반복했을 때 마지막에 나머지가 0일 때 나누는 수가 a, b의 최대 공약수가 된다는 정리이다.

증명

a와 b를 동시에 나누는 약수는 b로 a를 나누었을 때 나오는 나머지와 b를 동시에 나눈다. a는 b의 배수와 나머지의 합으로 표현되는 데 b는 공통인 약수로 나누어지기 때문에 나머지 또한 공통인 약수로 나누어져야만 a가 나누어질 수 있다. 따라서 공통인 약수는 b와 나머지 사이에서도 공통이 된다. 또한 최대 공약수 또한 같아진다. 만약 최대 공약수가 다르다고 가정하면 나머지와 b사이의 최대공약수는 a와 b를 동시에 나눌 수 있기 때문에 모순이 생기게 된다. 이러한 최대공약수가 공통인 특성을 이용하여 반복적으로 수식을 계산함으로써 나머지가 0일 때 최종적으로 최대공약수를 얻을 수 있게 된다. 그때 나누는 수가 최대공약수가 되기 때문이다.

수행시간

평균적으로 나머지가 나누는 수의 절반이 된다고 가정하면 나머지는 매 횟수마다 절반씩 감소하며 따라서 O(lgn)의 횟수를 통해 최대공약수를 구할 수 있게 된다. 시간복잡도가 O(lgn)이 되는 것이다.